函数 $f(r) = \frac{\sin(r)}{r}$是数学和物理学中一个重要而有趣的函数，通常被称为辛克函数（sinc function）。这个函数在信号处理、光学和量子力学等领域有广泛的应用。
## 定义与特性
辛克函数的标准定义如下：
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\text{sinc}(x) = \begin{cases}
\frac{\sin(x)}{x}, & x \neq 0 \\
1, & x = 0
\end{cases}
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主要特性包括：
1. 在原点处的值为1，这是通过极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ 定义的。
2. 函数图像在 x 轴上对称。
3. 函数在 x = 0 处取得最大值1。
4. 函数在 x = nπ 处（n 为非零整数）取得零点。
## 图形特征
辛克函数的图像具有以下特点：
1. 中心峰值：在原点处有一个主瓣。
2. 衰减振荡：随着 |x| 的增大，函数值呈现振荡衰减。
3. 包络线：振荡的幅度随 |x| 的增大而减小，近似遵循 1/|x| 的规律。
## 数学性质
1. 傅里叶变换：辛克函数是矩形函数的傅里叶变换。
2. 积分性质：$\int_{-\infty}^{\infty} \text{sinc}(x) dx = \pi$
3. 正交性：不同频率的辛克函数在整个实数轴上正交。
## 应用领域
1. 信号处理：用于描述理想低通滤波器的频率响应。
2. 插值理论：在采样定理中用于信号重构。
3. 光学：描述单缝衍射的光强分布。
4. 量子力学：在某些势场中描述粒子的波函数。
## 推广
辛克函数可以推广到多维情况，例如二维辛克函数：
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\text{sinc}(x, y) = \frac{\sin(\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}
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这在图像处理和计算机视觉中有重要应用。
总之，辛克函数 $\frac{\sin(r)}{r}$ 是一个在理论和应用方面都极其重要的数学函数。它优雅的数学性质和广泛的应用使其成为数学、物理和工程领域的核心概念之一。